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余弦乐释余怨(2)

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摘要：

(3)请你选用(1)或(2)中的一个函数关系式，求出y的最大值．

解析(1)①因为所以

所以

(2)因为

所以

所以即

(3)选择

由于所以

所以当即时，

总结这里两种选择自变量的办法，一是以边长为自变量，二是以角度为自变量. 这两种方法都是抓住直角三角形，利用勾股定理或三角函数的定义，将相关量用自变量来表示，然后再根据面积或周长来建立函数关系式，但一定要注意函数式的定义域. 三角函数式中，一定要利用三角公式化为一个三角函数式，才能求出最大值.

图2

例4如图2，现在要在一块半径为1，圆心角为的扇形纸板AOB上剪出一个平行四边形MNPQ,使点P在弧AB上，点Q在OA上，点M,N在OB上，设∠BOP=θ,平行四边形MNPQ的面积为S.

(1)求S关于θ的函数关系式；

(2)求S的最大值及相应θ的值．

图3

解析(1)分别过点P,Q作OB的垂线，垂足分别为D、E,则四边形QEDP是矩形(如图3)．于是PD=sinθ,OD=cosθ.

在Rt△OEQ中，则

所以

则

因为所以所以

所以当即时，S取得最大值

这是个内接平行四边形，先利用直角三角形内三角函数的定义求出平行四边形的边和高，将面积转化为三角函数式，再利用三角函数式来解决最值.

例5如图4，某广场中间有一块扇形状绿地OAB,其中O为扇形所在圆的圆心，半径为广场管理部门欲在绿地上修建观光小路：在上选一点C,过C修建与OB平行的小路CD,与OA平行的小路CE. 问C点应选在何处，才能使得修建的道路CD与CE的总长最大，并说明理由.

图4

解析如图，将扇形放入平面直角坐标系中，设∠AOC=α，OE=R则

即于是有

所以

于是

由于所以即时，也就是C为的中点时，修建的道路CD与CE的总长最大，为

你看，这三个例题中离开了你余弦，能够解答吗？至少解答很不容易吧. 所以数学每个概念都是数学大厦的一块基石，在人类建筑现代文明社会中都不可或缺.

余弦看后，满脸惭愧，再也没有抱怨了，它甘愿做正弦，不，做所有数学概念红花的绿叶，为数学事业作出自己的贡献.

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