余弦乐释余怨

话说有一天，余弦发起了牢骚：

我是余弦，我不满，很是不满. 本来三角函数家族里，我们正弦、余弦和正切是一脉同胞——都源自角α终边上一点的坐标(x,y)的比值其中地位相同，各有特色，互补共进，各司其职. 然而在一个数学老师手里，我却完全被埋没了，这个数学老师专宠正弦，将我余弦抛诸脑后，还告诫学生，只要掌握了正弦和正弦函数的性质，余弦都可以转化为正弦来处理. 他的根据就是那个可恨的诱导公式：用图象变换来解释就是：将它正弦函数的图象沿坐标轴向左平移个单位，就得到我余弦函数的图象. 在这个公式的掩盖下，我余弦没有出头之日，只能躲在正弦的阴影中独处暗泣. 你说我能不愤怒吗？既生它正弦，又何必生我余弦？

首先，从性质上讲：

性质正弦函数y=sinx(向左平移π2个单位)→余弦函数y=cosx单调增区间2kπ-π2,2kπ+π2 k∈Z 2kπ-π,2kπ k∈Z 单调减区间2kπ+π2,2kπ+3π2 k∈Z 2kπ,2kπ+π k∈Z 对称轴 x=kπ+π2k∈Z x=kπk∈Z 对称中心kπ,0 k∈Z kπ-π2,0 k∈Z

记住正弦函数的这些性质，求解余弦函数的性质时，只要将对应的区间、直线或者点向左边平移即可.

其次是化简求函数解析式时，全部化为正弦的形式.

例1已知函数

(I)求f(x)的最小正周期；

(II)求证：当时，

解析

至此，学生都遵照那个“嫌弃”我余弦的数学老师的教导，化为正弦，得到再来解决下面的问题. 我真的生气了，难道化为我余弦来解答就麻烦些？于是

(1)最小正周期为

(2)当时，于是

所以

这是2017年北京高考文试题，也很简单，很快捷吧！

例2已知函数

(Ⅰ)求的值；

(Ⅱ)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．

解析

至此，那个“抛弃”我的数学老师教出来的学生都变成

我就不信利用我不行！

(2)最小正周期为

它的单调递增区间即的单调递减区间，即即

故f(x)的单调递增区间为

这是2017年浙江高考试题，用我余弦来解答也一样方便快捷吧.

最可恨的是，连我和正弦的“二弦组合”形式，也变成只含有它正弦的形式，且其中的角还要由正切来确定，似乎与我余弦没有一点儿的关系.

其中φ由确定.

这个结论许多资料上称为“辅助角公式”，也是许多老师和同学津津乐道的一个最常用的三角公式，然而，我发现了它的一个不足.

比如但按这个公式，φ由确定，则tanφ=1,取两个或从而得到两个结果，或显然只有前者正确.

所以这个公式中的φ不能只是由确定，而必须依靠我余弦：

其中φ满足且

于是我将自己的怨恨和这个发现写信给这个老师，没有几天就收到了他的回信：

亲爱的余弦(函数)：

首先感谢你指出的这个错误，确实过去我们一直使用这个结论，没有注意到它是不严密的. 佩服你的钻研和思考精神，希望你一如继往，努力完善自己，多为社会做出贡献，也为学生的学习做出表率.

同时更重要的是要向你说声对不起，不是我“嫌弃”你，也不是我“抛弃”你. 而是因为学生的理解水平有限，让他们死记硬背你，还不如类比联想记忆你——紧扣你同“正弦”的形同特点——只需平移关系，这样学生对你的印象不是削弱了，反而更加强了，感觉你更生动，更形象，更有活力了. 其实数学的学习过程也是一个类比联想的过程，抓住知识点或数学概念之间的关联，就纲举目张，一通百通，举一反三. 在三角函数大家庭里，你们三兄弟，是相互联系的，血肉相连的，这一点从你们的定义和同角三角函数之间的关系也可以看出来，已知你们中的一个就可以求出另外一个，特别是你与正弦，更是唇齿相依的一衣带水的关系——如果唇亡，则一定齿寒，在许多实际问题的解答中也是需要你们相互配合，紧密相扣的.

图1

例3如图1，在半径为1，圆心角为的扇形的弧上任取一点P,作扇形的内接矩形PNMP,使点Q在OA上，点N,M在OB上，设矩形PNMQ的面积为y,按下列要求写出函数的关系式：

(1)设PN=x,将y表示成x的函数关系式；

(2)设∠POB,将y表示成θ的函数关系式；

文章来源：《辽宁师专学报（自然科学版）》 网址: http://www.lnszxb.cn/qikandaodu/2021/0509/1290.html